应用范畴论课程 (2018)
主讲:John Baez
本课程基于Brendan Fong与David I. Spivak所著的《组合性七略:应用范畴论导论》一书,由John Baez主讲,并由Simon Burton整理为网页形式。课程旨在通过具体例子向学习者介绍应用范畴论的基本概念与方法。
课程结构分为四章,共77讲:
第一章:有序集
本章从预序集(preorders)和Galois连接(Galois connections)入手,逐步引入并深入探讨偏序集(posets)中的逻辑、子集逻辑、划分逻辑(logic of partitions)、生成效应(generative effects)、格(joins and meets)的保持与伴随函子定理(Adjoint Functor Theorem for Posets)等核心概念,最终综合前述内容。
第二章:资源理论
本章将范畴论应用于资源建模,涵盖化学反应、生产调度、制造等实例。重点介绍对称幺半预序(symmetric monoidal preorders)、幺半预序(monoidal preorders)、定价、反应网络、幺半单调映射(monoidal monotones)及其伴随、忽略外部性、充实范畴(enriched categories)(包括Lawvere度量空间)等,旨在形式化描述资源的组合与转化。
第三章:数据库
本章引入范畴(categories)作为数据模式的模型,对比范畴与预序。内容涵盖从图(graphs)构建范畴、范畴的展示(presentations)、函子(functors)作为数据库实例、关系(relations)、函子的组合、自然变换(natural transformations)及其组合、同构、伴随函子(adjoint functors)、Kan扩张(Kan extensions)、Hom函子、自由函子与遗忘函子等。这部分展示了如何利用范畴论工具处理数据和数据之间的结构关系。
第四章:协作设计
本章应用充实范畴论(enriched category theory)于协作设计问题。核心概念是充实预函子(enriched profunctors)或可行性关系(feasibility relations),用于刻画不同设计选项之间的兼容性。内容包括可行性关系的组合、成本充实预函子、闭幺半预序(closed monoidal preorders)、充实预函子的组合与范畴、协作设计模型、反馈机制、张量积、以及对称幺半范畴(monoidal categories)、弦图(string diagrams)、紧闭范畴(compact closed categories)等高阶主题。最后进行了一次全面的综合。
课程以“结束?不,这是开始!”作为结尾,鼓励学习者继续探索应用范畴论的广阔领域。